函数是数学中最重要的概念之一,它既是数学的研究对象,又是解决数学问题的基本思想方法. 早在1617世纪,生产和科学技术的发展要求数学研究静止不动的常量,而且要研究运动过程中变量之间的依赖关系,从而促进数学由常量时代进入到变量时代. 函数也就成为研究变量数学必不可少的概念.

函数(function)一词,始用于1692年,见著于微积分创始人之一的莱布尼兹(Gottfried Wilhelm Leibniz1646-1716)的著作中. 符号由欧拉(Leonhard Euler 1707-1783)于1724年首次使用. 我国于1859年引进函数的概念,它首次是在清代数学家李善兰(1811-1882)和英国传教士伟烈亚历山大合译《代微积拾级》中出现.函数在初高等数学中,在物理、化学和其他自然科学中,在经济领域和社会科学中均有广泛的应用,起着基础的作用.

函数的概念随着数学的发展而发展,函数的定义在发展过程中不断精确、完善、抽象.

19世纪以前占主导地位的观点是,把函数理解为一个解析表达式.1698年瑞士著名的数学家约翰.伯努利(Johann Bernoulli,1667-1748)给出的定义最具代表性,他称:由变量与常量用任何方式构成的量就是的函数.这里的任何方式暗指代数式子和超越式子.

1748年约翰的学生,优秀的数学家欧拉在他著名的《无穷小分析引论》中把函数定义改进为:由一个变量与一些常量通过任何方式形成的一个解析表达式. 并且欧拉还给出了函数分类,把函数分为:代数函数与超越函数,有理函数与无理函数,整函数与分式函数,单值函数与多值函数. 这种解析的函数概念有其局限性,例如著名的狄利克莱函数

按照这一定义就不能称之为函数.

1746年达朗贝尔(D'Alembert Jean Le Rond1717-1783)提出既然解析式定义的函数在几何上可表示为曲线,那么曲线即函数. 后来欧拉发现有些曲线不一定是由单个解析式给出的,于是他把达朗贝尔的定义修改为:函数是“平面上随手画出的曲线所表示的的关系.”即把函数定义为一条随意画出的曲线. 欧拉的改进没有得到达朗贝尔的认同,并由此引发两人常年激烈的辩论.

1775年欧拉在《微分学》一书中给出了函数的又一定义“如果某些变量以一种方式依赖于另一些变量,即当后者变化时前者也随之变化,则称前面变量为后面变量的函数.”值得指出的是这里的“依赖”“随之变化”首次触及函数概念的本质—对应思想,因此这一定义可视为函数概念的科学雏形.

19世纪最杰出的法国数学家柯西(Augustin Louis Caucky1789-1857)也给出了如下函数定义:“当的每个值,都有完全确定的值与之对应,则称的函数.”此定义比欧拉版描述的更清晰,但依然对“对应思想”强调不够,而且柯西依然要求函数需用解析式表示的关系,因此该定义依然算是函数概念的科学雏形.

1837年德国数学家黎曼(B. Georg Friedrich Bernhard Riemann 18261866)和狄利克莱(Dirichlet1805-1859)克服了前述定义的缺陷,给出了函数概念的精确化表述:“若对的每个值,都有完全确定的值与之对应,不管建立这种对应的方式如何,都称的函数.”这一定义彻底抛弃了前述定义中对解析式的束缚,特别强调和突出“对应思想”,因此,此定义可视为称得上科学的函数定义.按此定义

就是函数了.

在此基础上,美国数学家维布伦(O. Veblen1880--1960)给出了近代函数定义:“若在变量的集合与另一变量的集合之间,有这样的关系成立,即对的每一个值,都有完全确定的值与之对应,则称的函数.”建立在“集合对应”基础上的这一定义,使得函数概念能广泛应用于数学的各个分支,如数学分析、复变函数、实变函数、泛函分析等.