三峡工程陡高边坡开挖优化设计
(数学建模夏令营2001年A题)
一、 工程介绍
永久船闸是三峡工程的重要组成部分, 是目前世界上最在的通航建筑物之一。它位于三峡工程坝址的左岸山体中, 总长6442米, 其中闸室段长1617米, 距现长江河岸约1600米。在该区域内, 地面高程由河岸约60米向左岸逐渐增高至260米(坛子岭), 过坛子岭后局部较低, 然后逐渐增高至360米。永久船闸为双向5级连续船闸, 轴线方向为1110, 单级船闸有效尺寸为280米长×34米宽×5米深,5级船闸总长为1617米。船闸布置在深开挖的花岗岩中, 两侧采用较陡的边坡, 边坡的最大深度达170米(位于第三闸首附近约400米处), 其余一般50~120米。三峡工程永久船闸就是这样一个既高又陡的深槽, 该边坡与其它人工边坡不同, 属深切陡高边坡。
二、 问题
三峡工程山体剖面简化如下图, 在山体开挖一底宽为$S$米(已知), 高为$H$米(已知), 坡角为$\alpha$(待求)的深槽(槽中放置船闸)。山体地应力沿高度分布, 且与山体深度成正比, 即山体地应力$\sigma_0=\mu\gamma H$, 其中, 侧压力系数为$\mu$, 山体的容重为$\gamma$, 山体的磨擦系数为$K$, 山体的粘聚力为$C$。
岩体开挖后, 由于重力和地应力释放作用, 边坡可能沿某一圆弧面滑动。为了保证开挖后边坡的稳定, 必须进行加固。
在加固后, 保证边坡稳定的安全系数不低于某一值$f_s$的条件下, 确定最佳开挖坡角$\alpha$。
三、 提示
- 对应不同坡角$\alpha$相应有最危险可能圆弧滑动面;
- 对应不同坡角$\alpha$相应有不同的安全系数, 工程为保证边坡稳定, 要求加固后其稳定安全系数不低于某一常数$f_s$;
- 安全系数为阻滑力与下滑力的比值;
- 根据国家定额标准, 提供每千牛顿阻滑力费用为$R_1$, 开挖每立方米岩石费用为$R_2$;
- 地应力指山体中由于历史上地质构造作用后, 残存在山体中的剩余应力, 单位MPa;
- 侧压力系数指地应力与自重应力的比值, 其中自重应力为$\sigma_v=\gamma H$。
四、 可供参考的解题安全系数步骤
- 以$90^o--0^o$之间以某步长改变坡角$\alpha$;
- 在给定坡角$\alpha$下通过力学分析, 采用刚体平衡法(见参考文献[1]第20章第4节), 搜索其危险滑动面, 计算其稳定安全系数及下滑力;
- 加固至满足的安全系数;
- 计算该坡角下的开挖和加固工程量及其造价;
- 建立优化数学模型, 求最优坡角;
- 以总造价最少为最优坡角。
五、 实例
底宽$S=300$米, 高为$H=170$米, 山体的容重为$\gamma=27$千牛顿/每立方米, 稳定安全系数$f_s=1.2$, 侧压力系数$\mu=0.8$, 山体的磨擦系数$K=1.2$, 对山体进行加固的费用$R_1=30$元/牛顿米, 开挖的费用$R_2=100$元/立方米, 粘聚力$C=2$MPa。
六、 参考文献
[1] 岩土工程手册, 中国建筑工业出版社, 1999.
[2] 李建林, 卸荷岩体力学理论与应用, 中国建筑工业出版社, 1999.
[3] 徐志英, 岩石力学, 中国水利水电出版社, 1986.