偏微分方程的数值离散和快速算法，包括但不限于以下三个研究方向

方向一：大规模特征值问题的快速算法（多重网格、区域分解和机器学习等算法）；

方向二：偏微分方程的有限元方法；

方向三：计算电磁学问题和电子结构计算问题的算法设计与分析。

梁启刚，同济大学数学科学学院预聘副教授、硕士生导师。本科、博士均就读于同济大学数学科学学院，2023年获理学博士学位，2025年从同济大学数学博士后流动站出站后留校任教。主要从事偏微分算子特征值问题、计算电磁学问题和电子结构计算问题等问题的数值离散与快速算法研究，取得了一系列国际前沿研究成果。在Math. Comp.、SIAM J. Numer. Anal.、IMA J. Numer. Anal.等国际一流专业期刊上发表了多篇学术论文。主持国家自然科学基金委员会青年科学基金项目（C类）和中国博士后科学基金会面上资助项目。

2018年-2023年，同济大学计算数学专业，博士导师：许学军教授

2014年-2018年，同济大学数学与应用数学专业，本科导师：许学军教授

2025年-至今，同济大学数学科学学院，预聘副教授

2023年-2025年，同济大学数学博士后流动站，博士后合作导师：许学军教授

已投稿的论文：

[1] Li, Buyang; Li, Zhenglei; Liang, Qigang; Xu, Xuejun Sharp pointwise error estimates of finite element methods for the biharmonic equation. Submitted.

[2] Chen, Longxi; Liang, Qigang; Xu, Xuejun A cluster-wise self-consistent field algorithm for the manifold optimization problem. Submitted.

[3] Guo, Jianing; Liang, Qigang An a posteriori error estimator for C^0IPG approximation of multiple and clustered eigenvalues of the biharmonic operator. arXiv:2607.23215, Under review.

[4] Liang, Qigang; Xu, Xuejun A two-level additive Schwarz method for computing interior multiple and clustered eigenvalues of symmetric elliptic operators. arXiv:2604.13889, In revision.

已接收或发表的论文：

[1] Guo, Jianing; Liang, Qigang; Xu, Xuejun Local multilevel preconditioned Jacobi-Davidson method for elliptic eigenvalue problems on adaptive meshes. To appear in Adv. Comput. Math., 2026.

[2] Liang, Qigang; Xu, Xuejun; Zhang, Qingquan Adaptive multilevel methods for the Maxwell eigenvalue problem. To appear in Commun. Comput. Phys., 2026.

[3] Liang, Qigang; Xie, Hehu; Xu, Xuejun An augmented subspace method for computing interior multiple and clustered eigenvalues of symmetric elliptic operators. To appear in IMA J. Numer. Anal., 2026.

[4] Li, Zhenglei; Liang, Qigang; Xu, Xuejun Pointwise a posteriori error estimators for multiple and clustered eigenvalue computations. J. Sci. Comput. 109 (2026), no. 1, Paper No. 1, 24 pp.

[5] Li, Zhenglei; Liang, Qigang; Xu, Xuejun Pointwise a posteriori error estimators for elliptic eigenvalue problems. J. Intell. Algorithms Sci. Comput., 1(1):111-132, 2026. (Special Issue)

[6] Liang, Qigang; Xu, Xuejun; Yuan, Liuyao Computing both upper and lower eigenvalue bounds by HDG methods. Comput. Methods Appl. Math. 25 (2025), no. 3, 643-663. (Special Issue)

[7] Liang, Qigang; Xu, Xuejun; Zhang, Shangyou On a sharp estimate of overlapping Schwarz methods in H(curl;Ω) and H(div;Ω). IMA J. Numer. Anal. 45 (2025), no. 2, 1009-1027.

[8] Liang, Qigang; Wang, Wei; Xu, Xuejun A domain decomposition method for nonconforming finite element approximations of eigenvalue problems. Commun. Appl. Math. Comput. 7 (2025), no. 2, 606-636. (Special Issue)

[9] Liang, Qigang; Wang, Wei; Xu, Xuejun A two-level block preconditioned Jacobi-Davidson method for multiple and clustered eigenvalues of elliptic operators. SIAM J. Numer. Anal. 62 (2024), no. 2, 998-1019.

[10] Liang, Qigang; Xu, Xuejun A two-level preconditioned Helmholtz subspace iterative method for Maxwell eigenvalue problems. SIAM J. Numer. Anal. 61 (2023), no. 2, 642-674.

[11] Liang, Qigang; Xu, Xuejun; Yuan, Liuyao A weak Galerkin finite element method can compute both upper and lower eigenvalue bounds. J. Sci. Comput. 93 (2022), no. 1, Paper No. 19, 21 pp.

[12] Liang, Qigang; Xu, Xuejun A two-level preconditioned Helmholtz-Jacobi-Davidson method for the Maxwell eigenvalue problem. Math. Comp. 91 (2022), no. 334, 623-657.

1.椭圆型算子内部重和簇特征值的区域分解算法，国家自然科学基金委-青年科学基金项目，项目负责人，批准号：12401481，2025年-2027年；

2.Maxwell特征值问题的区域分解法，中国博士后科学基金会-面上项目，项目负责人，批准号：2023M742662，2023年-2025年；

3.入选国家资助博士后研究人员计划和上海市超级博士后激励计划。

获同济大学数学科学学院“致远青年”学者资助，同济大学优秀博士后称号和中国博士后科研业绩评估考核资助。多次荣获博士研究生国家奖学金、本科生国家奖学金、同济大学优秀学位论文奖和上海市优秀毕业生等奖励和荣誉称号。

高等数值分析（3学分，授课对象：数学专业研究生，秋季）

数值分析（3学分，授课对象：工科专业研究生，秋季）

常微分方程(荣) （3学分，授课对象：双学位本科生，秋季）

线性代数(荣) （5学分，授课对象：国豪精英班本科生，春季）